MENTAL vs. TEORÍA DE CATEGORÍAS

“La teoría de categorías es la rama más general y abstracta de las matemáticas puras” (C.A.R. Hoare)

“La regla de oro de la matemática moderna es que la vida tiene lugar dentro −y entre− categorías” (John Baez)

“La teoría de categorías puede aportar una comprensión mejor y más natural de los objetos matemáticos que la teoría de conjuntos” (Tatsuya Hagino)

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Teoría de Categorías
La idea central de la teoría de categorías (TC) es que, mientras en un conjunto hay relaciones de tipo vertical de pertenencia de cada elemento al conjunto, en una categoría hay relaciones horizontales entre los elementos del conjunto. Estas relaciones forman una estructura. La TC es una teoría matemática general que trata de estructuras, sistemas de estructuras y de cómo se relacionan las estructuras de diferentes dominios.

La TC nació en la topología algebraica por la necesidad de un formalismo para describir la transformación de un tipo de estructura en otra y para asignar invariantes algebraicos a estructuras topológicas

La noción formal de categoría fue introducida en 1945 con la publicación del artículo “Teoría General de Equivalencias Naturales”, de Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane. Trataba de las clases de transformaciones naturales en topología algebraica. Formalizaron el concepto de homología (un concepto geométrico intuitivo) y crearon un álgebra homológica o teoría de la homología (de tipo axiomático) [Eilenberg & Mac Lane, 1945].

Eilenberg y Mac Lane descubrieron que todas las estructuras compartían una serie de características comunes:

• Se refieren a clases de conjuntos.
• Hay definidas funciones internas, que relacionan unos elementos con otros.
• La funciones se pueden componer de forma asociativa.
• Siempre existe al menos una función identidad.

De todo esto dedujeron que no había ninguna necesidad de mencionar a los conjuntos de forma explícita y que la matemática se podía basar únicamente en el concepto de función y de composición de funciones, en lugar de los conceptos clásicos de conjunto y pertenencia. De esta manera se creaba un marco más genérico en donde conjuntos y estructuras serían casos particulares de categorías.


Definición formal de categoría

Una categoría C (que se suele representar en negrita) consta de dos partes:

1. Una clase o colección de objetos. Los objetos se suelen representar con letras mayúsculas.
   
   
2. Unas relaciones binarias, llamadas “morfismos” o “flechas”, entre los objetos de la clase. Se suelen representar con letras minúsculas.

Suele ser habitual representar los objetos de una categoría como puntos y los morfismos como flechas que conectan los puntos (de ahí el nombre de “flechas” que se da a los morfismos).

Para todo par de objetos, A y B (iguales o distintos), de la clase, existe un conjunto de morfismos (correspondencias) Mor(A, B) (puede ser el conjunto vacío), de tal manera que si f pertenece a Mor(A, B), entonces f establece una correspondencia entre el objeto A (origen o fuente) y el objeto B (destino). Se representa como f:A→B.

La composición de los morfismos f:A→B y g:B→C es otro morfismo g○f:A→C. Por lo tanto, si f pertenece a Mor(A, B) y g pertenece a Mor(B, C), entonces g○f pertenece a Mor(A, C).


La noción de composición de morfismos permite generalizar conceptos fundamentales de la matemática, como son el producto, la suma y la exponenciación, así como los mecanismos básicos de la lógica.

Una categoría C cumple los dos axiomas siguientes:

1. Composición asociativa de morfismos: h○(g○f) = (h○g)○f
   
   
2. Morfismo identidad. Para todo objeto X de la categoría C, existe un morfismo identidad que le hace corresponder a sí mismo, representado como id_x(X) o bien 1_x. Por lo tanto, si tenemos el morfismo f:A→B, entonces se cumple 1_B○f = f○1_A = f.

Un objeto A de una categoría C se puede considerar como un morfismo identidad 1_A. Por lo tanto el morfismo f:A→B se puede representar como composición del morfismo A y del morfismo f: f○A = B.

La idea es abordar todo en términos de morfismos y su composición, sin mencionar los objetos. Una categoría está así caracterizada por sus morfismos y no por sus objetos.


Dominio y codominio de un morfismo

• El dominio de un morfismo f de una categoría C es el conjunto de objetos fuente u origen del morfismo f.
  
  
• El codominio de un morfismo f de una categoría C es el conjunto de objetos destino del morfismo f.

Puede haber morfismos con el mismo nombre, el mismo objeto origen y distintos objetos destino. A veces se utiliza la notación funcional f(A)=B, pero solo es aplicable cuando solo hay una flecha de A a B.



Tipos de morfismos

• El morfismo inverso de f:A→B es f⁻¹:B→A.
  
  
• Un morfismo f es un isomorfismo si combinando los morfismos directo (f:A→B) e inverso (f⁻¹:B→A), se cumplen las propiedades: f○f⁻¹ = 1_B y f⁻¹○f = 1_A. La flecha se denomina “isomórfica” o “invertible”.
  
  
• Un morfismo f es un monomorfismo si cumple: si f○g = f○h, entonces g=h. La flecha se denomina “monomórfica” o “mónica”.
  
  
• Un morfismo f es un epimorfismo si cumple: si g○f = h○f, entonces g=h. La flecha se denomina “epimórfica” o “épica”.
  
  
• Un morfismo f es un endomorfismo si el dominio y el codominio de f son el mismo.

Ejemplos de categorías

1. Set.
   Objetos: Todos los conjuntos.
   Flechas: Funciones entre conjuntos. La categoría Set es el ejemplo paradigmático de categoría.
   
   
2. Grp.
   Objetos: Todos los grupos.
   Flechas: Homomorfismos entre grupos.
   
   
3. Vec.
   Objetos: Todos los espacios vectoriales.
   Flechas: Transformaciones lineales.
   
   
4. Top.
   Objetos: Todos los espacios topológicos.
   Flechas: Funciones continuas.
   
   
5. Pos. Los conjuntos con un orden parcial (poset, partial order set). Una relación de orden parcial en un conjunto C es una relación tal que para cualquier par de elementos a y b de C, se cumple que a≤b o bien b≤a (x≤y indica “x precede a y”).
   
   Objetos: Los elementos de un conjunto con un orden parcial.
   Flechas: Las relaciones ≤ entre los elementos. La composición de x≤y e y≤z es x≤z.
   
   Ejemplos: los números reales y la relación “menor o igual que”; el conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado C, P(C), y la relación ⊆ (contenido o igual).
   
   
6. Los conjuntos con una relación de igualdad entre sus elementos. Objetos: Los elementos del conjunto.
   Flechas: Las relaciones de igualdad (=) entre los elementos. Todos los elementos son iguales a sí mismos y pueden adicionalmente definirse pares de elementos iguales. Una flecha es un elemento X=Y.

Objetos especiales de una categoría

• Objeto inicial. Un objeto I de una categoría C es inicial si para cada objeto X de C hay solo un morfismo I→X.
  
  
  
• Objeto terminal. Un objeto T de una categoría C es terminal si para cada objeto X de C hay solo un morfismo X→T.

Subobjetos

El concepto de subobjeto es una generalización de la noción de subconjunto en la teoría de conjuntos.

La definición formal de subobjeto, y las relaciones entre subobjetos, se fundamenta en morfismos, en lugar de referirse a los objetos:

• Un subobjeto S de un objeto A es un monomorfismo de S a A.
  
  
  
• Si A es un objeto de una categoría, y tenemos dos morfismos u:S→A y v:T→A, entonces se dice que u≤v si existe w:S→T tal que u = v○w. Y u≡v si y solo si u≤v y v≤u.

En la categoría Sets, un subobjeto de un objeto (conjunto) A es un subconjunto de A. En la categoría Grp, un subobjeto es un subgrupo.

Esta definición de subobjeto hace que la colección de subobjetos de un objeto A sea un orden parcial. Esta relación binaria entre cada objeto y sus subobjetos es una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia son los subobjetos de A. El concepto dual de subobjeto es el objeto cociente.

Una relación de equivalencia sobre un conjunto es una relación entre los elementos del conjunto que comparten una misma propiedad. Esto permite clasificar los elementos del conjunto en clases de equivalencia. Ese conjunto de clases de equivalencia es el conjunto cociente.

Clasificador de subobjetos

Un clasificador de subobjetos es objeto especial Ω de una categoría. Es una generalización del conjunto de valores de verdad {0, 1} de la lógica booleana. Intuitivamente, los subobjetos de un objeto X corresponden a los morfismos de X a Ω. Por ejemplo, en la categoría Sets, si Ω={0,1}, a cada elemento de un subconjunto S de X le corresponde 1 si pertenece a X y 0 si no pertenece. Es lo que se denomina “función característica” de S en X.


Producto de dos objetos de una categoría

El producto de objetos es una noción que intenta generalizar muchas operaciones de este tipo, como producto cartesiano de conjuntos, producto directo de grupos, producto directo de anillos, producto de espacios topológicos, etc.

El producto de dos objetos A₁ y A₂ de la categoría C es otro objeto P = A₁×A₂, de tal manera que dos morfismos p₁:P→A₁ y p₂:P→A₂, para todo objeto X, y para todo par de morfismos f₁:X→A₁ y f₂:X→A₂, hay un solo morfismo f:X→P que cumple

p₁○f = f₁   p₂○f = f₂

Es decir, f está determinado de manera unívoca por f₁ y f₂ y se representa como f = ⟨f₁, f₂⟩. Por lo tanto,

p₁○⟨f₁,f₂⟩ = f₁   p₂○⟨f₁,f₂⟩ = f₂

Los morfismos f₁ y f₂ son las proyecciones de f respecto a p₁ y p₂.

Esto se suele representar así:

X→A1×A2

X→A1,   X→A2

que significa: el morfismo X→A₁×A₂ corresponde de manera natural a los pares de morfismos X→A₁ y X→A₂.

El producto de objetos cumple las propiedades conmutativa y asociativa.

El elemento identidad es el objeto 1: 1×A = A. Se demuestra que si A×A = 1, entonces A = 1.

En el caso de la categoría Set, el producto de objetos (conjuntos) corresponde al producto cartesiano.


Suma de dos objetos de una categoría

La suma −también llamado coproducto o producto dual− de dos objetos A₁ y A₂ de la categoría C es otro objeto S = A₁+A₂, de tal manera que dos morfismos j₁:A₁→S y j₂:A₂→S tales que para todo objeto X y para todo par de morfismos f₁:A₁→X y f₂:A₂→X hay un solo morfismo f:S→X que cumple

f○j₁ = f₁   f○j₂ = f₂

Obsérvese que el sentido de las flechas es el contrario que en el producto. Es decir, f está determinado de manera unívoca por f₁ y f₂ y se representa como

f=	{	f1
		f2

Los morfismos j₁ y j₂ son las inyecciones de la suma de A₁ y A₂.

Esto se suele representar así:

A1+A2→X

A1→X,   A2→X

que significa: el morfismo A₁+A₂→X corresponde de manera natural a los pares de morfismos A₁→X y A₂→X.

La suma de objetos cumple las propiedades conmutativa y asociativa.

El elemento identidad es el objeto 0: 0+A = A. Un objeto negativo de A es otro B, tal que A+B = 0.

En el caso de la categoría Set, la suma de objetos corresponde a la unión disjunta (unión de conjuntos sin elementos comunes).


Exponenciación

Si C es una categoría y si Y y Z son objetos de C, Y^Z es otro objeto −también denominado “objeto potencia” (power object)− que es el conjunto de todos los morfismos de Z en Y.

Las leyes de la exponenciación son:

1^Z ≡ 1
Y¹ ≡ Y
Y⁰ ≡ 1
(Y^Z)^S ≡ Y^Z+S
(Y₁+Y₂)^Z ≡ Y₁^Z +Y₂^Z
Y^Z₁+Z₂ ≡ Y^Z₁×Y^Z₂

Las leyes para los exponenciales son genéricas. Su aplicación a la aritmética es solo un caso especial.

La exponenciación se suele representar así:

X→YZ

Z×X→Y

que significa: el morfismo X→Y^Z corresponde de manera natural al morfismo Z×X→Y.

En la categoría Set, el objeto exponencial Y^Z es el conjunto de funciones entre Z e Y.


Tipos de categorías

• Una categoría discreta es una categoría en la que todos los morfismos son identidades. Es decir, no hay conexiones entre los objetos de la categoría.
  
  
• Una categoría conectada es una categoría en la que para cada par de objetos hay al menos un morfismo entre ellos.
  
  
• Una subcategoría es una selección de objetos de una categoría junto con todos los morfismos entre ellos.
  
  
• La categoría dual (u opuesta) C' de una categoría C es la misma categoría C pero con las flechas en sentido contrario (es decir, con los morfismos inversos).
  
  
• Una categoría distributiva es la que cumple, para tres objetos cualesquiera, A₁, A₂ y A₃:
  
  
  A₁×A₂ + A₁×A₃ ≡ A₁×(A₂+A₃)
  
  
• Una categoría lineal es la que, para todo par de objetos A y B, A×B es isomorfo a A+B.
  
  
• Categoría cociente. Si tenemos un objeto X de una categoría C, C/X es otra categoría, denominada “categoría cociente”, en la que cada objeto es un morfismo de C con codominio X, es decir, es el conjunto de flechas de C que tienen destino X.
  
  
• Categoría cartesiana cerrada. Es una categoría que satisface 3 propiedades:
  
  
  1. Tiene un objeto terminal.
     
     
  2. Dos objetos cualesquiera X e Y de C, tienen un producto X×Y en C.
     
     
  3. Dos objetos cualesquiera Y y Z de C, tienen un exponente Z^Y (el conjunto de los morfismos de Y a Z) en C.
  
  En una categoría de este tipo, se cumple que f:X×Y→Z es equivalente a λg:X→Z^Y (morfismos de Z a Y), es decir, que una función de dos variables se puede definir como una función de una variable. Es lo que se denomina “currificación”.
  
  Un ejemplo de esta categoría es Set, la categoría de todos los conjuntos con funciones entre ellos como mofismos. En este caso, X×Y es el producto cartesiano y Z^Y es el conjunto de todas las funciones entre Y y Z.

Diagramas

Un diagrama es una representación gráfica de la estructura de flechas de una categoría, donde los objetos son vértices. Un camino en un diagrama es una sucesión o cadena finita de flechas. Los diagramas básicos son el triángulo y el cuadrado:



Se dice que el triángulo conmuta si se cumple: g○f = h.
Se dice que el cuadrado conmuta si se cumple: g○f = k○h.

En general, un diagrama conmuta si dos caminos cualesquiera con el mismo origen y el mismo destino, y de longitud > 1, son iguales, es decir, la flecha obtenida por composición de las flechas de cualquier camino conectado depende solo de los extremos del camino.


Límites y colímites de una categoría

Una categoría C con límites o colímites es la que tiene las propiedades siguientes:

Propiedad	Colímites	Límites
Objeto especial	Objeto inicial: 0	Objeto terminal: 1
Operación	Suma de objetos	Producto de objetos
Operación nula	0+A = A	1×A = A
Conjunto cociente C/X (para todo objeto X)	C/X tiene sumas	C/X tiene productos

Funtor

Un funtor o functor (en ingles, functor) es un morfismo entre categorías que preserva la estructura al pasar de una categoría a otra. Los funtores se suelen representar con mayúsculas para diferenciarlo de los morfismos internos en una categoría. Un funtor asocia a cada objeto de una categoría un objeto de la otra y a cada flecha de la primera una flecha de la segunda. Formalmente, un funtor F de la categoría C a la categoría D:

1. Asocia a cada objeto X de la categoría C un solo objeto F(X) = Y de la categoría D.
   
   
2. Asocia a cada flecha f de la categoría C una sola flecha F(f) = g de la categoría D. Se dice que es un 2-morfismo (morfismo de orden 2). Los morfismos normales de una categoría son 1-morfismos.

Además se cumplen las siguiente propiedades, que hacen preservar la estructura al pasar de una categoría a la otra:

1. Si f:X→Y, entonces F(f):F(X)→F(Y).
   
   
2. Para todos los morfismos de C, se cumple que F(g○f) = F(g)○F(f). El funtor preserva la composición.
   
   
3. Para todo objeto X de C, se cumple que F(1_x) = 1_F(x). El funtor preserva las identidades.

El funtor así definido se dice que es covariante. Un funtor contravariante es un funtor covariante entre C' (la categoría dual) y D.

Ejemplo de funtor: en la categoría Set, la transformación P(f): P(X)→ P(Y), en donde P(X) es el conjunto de subconjuntos de X, es un funtor.


Funtor identidad

El funtor identidad de una categoría C es un funtor I_C:C → C, de tal manera que I_C(X)=X para todo objeto X de C.


Funtor inverso

Si F:C→D es un funtor , se dice que F es un isomorfismo si existe otro funtor G:D→C tal que F○G = I_C y G○F = I_D. Al funtor G se denomina funtor inverso de F.


Transformación natural entre funtores

Mientras los funtores son morfismos que permiten pasar de una categoría a otra, las transformaciones naturales suministran una relación análoga entre funtores: los morfismos entre categorías de funtores. Una transformación natural T entre dos funtores F y G, entre las categorías C y D, es la que cumple las condiciones reflejadas en el diagrama. Es decir;

G(f)○T_X = T_Y○F(f)

Funtores adjuntos

Hay varias definiciones de funtores adjuntos [Mac Lane, 1998], pero el más usado es el que usa un isomorfismo natural de conjuntos de morfismos, que es el siguiente. Dadas dos categorías, C y D, y dos funtores F:C→D y G:D→C, F es adjunto a la izquierda de G (y G es un funtor adjunto a la derecha de F) si, para cada objeto X de C y para cada objeto Y de D, existen dos morfismos únicos, f_C y f_D tales que f_C:F(X)→Y y f_C:X→G(Y). Es decir, hay una transformación natural entre los objetos X e Y, tal y como ilustra la figura.


En particular se verifica que G○F=I_C y F○G=I_D. Y, por lo tanto, G○F○G=G y F○G○F=F, siendo I_C e I_D los funtores identidad de las categorías C y D, respectivamente. Es decir, dos funtores adjuntos son funtores inversos cuando los morfismos que se aplican a X y a Y son 1_X y 1_Y, respectivamente.


Categorías “Pequeñas”
Si la clase de objetos de una categoría es un conjunto, se dice que la categoría es “pequeña”.

Ejemplos

1. Un conjunto C determinado parcialmente ordenado.
   
   Objetos: Los elementos del conjunto C.
   Flechas: Una relación de orden parcial.
   
   
2. Un grafo determinado.
   
   Objetos: Los vértices del grafo.
   Flechas: Los pares de vértices conectados (las aristas entre vértices).
   
   
3. Monoide. Es una categoría que tiene un solo objeto.
   
   Objetos: Uno solo (X).
   Flechas: Puede muchas flechas iguales (de X a X) pero con distintos nombres.

Producto de categorías pequeñas

El producto de dos categorías pequeñas, C y D, es otra categoría:

Objetos: Los elementos del producto cartesiano C×D.

Flechas: Los elementos del producto cartesiano F×G (F es el conjunto de los morfismos de C, y G el conjunto de los morfismos de D).

Categorías de Orden Superior
Hay muchos tipos. Las más destacadas son las siguientes:

n-categoría

Una n-categoría consta de:

• 0-objetos: A, B, ...
• 1-objetos: morfismos (flechas) entre objetos.
• 2-objetos: morfismos entre morfismos (2-morfismos, morfismos de orden 2, flechas entre flechas).
• 3-objetos: morfismos entre morfismos de orden 2.
• etc., hasta llegar a los n-objetos.

Existen también la ∞-categoría (o ω-categoría) en la que el proceso continúa indefinidamente.


Multicategoría

Es una categoría en la que las flechas son del tipo

(A₁, A₂, ... , A_k) → B

en donde el dominio es una secuencia de objetos y el codominio es un solo objeto. Una flecha de este tipo se puede imaginar como una caja con k entradas y una salida:


Un ejemplo de multicategoría es la de los espacios vectoriales.

Las multicategorías se pueden generalizar a otros tipos de objetos, como árbol de objetos, matriz de objetos, etc.

Un operando es una multicategoría con un solo objeto.

Las multicategorías son a los operandos como las categorías son a los monoides.


Categorías de categorías

Son categorías cuyos objetos son categorías y cuyas flechas son funtores. Por ejemplo, la categoría formada por:

Objetos: Todas las categorías pequeñas.
Flechas: Todos los funtores entre ellas.

Teoría de Topos
La teoría de topos −en griego, “lugar”; en poesía significa “lugar común”− es una rama de la TC. La palabra “topos” es singular, siendo el plural “topoi” o “toposes”.

El concepto de topos fue elaborado por Alexander Grothendieck, alrededor de 1960, como generalización del concepto de haz (sheaf) de la geometría algebraica. William Lawvere, junto con Myles Tierney [Lawvere, 1963] generalizó este concepto mediante axiomas elementales (de primer orden) que condujeron a su noción actual: el topos elemental, que es una generalización de la teoría de conjuntos, una teoría elemental de la categoría de conjuntos, una generalización de la noción de espacio topológico y una generalización de la lógica booleana. En definitiva, un universo autónomo para el discurso matemático.

Para Lawvere, un topos se puede considerar como una categoría de conjuntos variables sobre un espacio topológico general. Y la categoría usual de conjuntos como compuesta de conjuntos fijos (o constantes).

Un topos (o topos elemental) es una categoría con:

1. Límites y colímites.
   
   
2. Productos. Para todo par de objetos (X, Y) de la categoría, existe el objeto producto X×Y.
   
   
3. Exponenciales. Para todo par de objetos (X, Y) de la categoría, hay un objeto Y^X (exponencial) que representa a todos los morfismos de X a Y.
   
   
4. Un clasificador de subobjetos Ω. Para cualquier objeto X, los morfismos X→Ω equivalen a los subobjetos de X.

Un topos es una categoría cartesiana cerrada con un clasificador de subobjetos.

Un ejemplos de topos es la categoría Set de los conjuntos finitos y las funciones entre ellos y donde el clasificador de subobjetos es el conjunto {V, F}.


Lógica Categórica
La lógica categórica (categorical logic) es una rama de la TC, que está basada en un enfoque categorial de la lógica.

El origen de la lógica categórica fue el artículo de William Lawvere “Functorial Semantics of Algebraic Theories” [1963]. Lawvere se replanteó la lógica (la sintaxis y la semántica) desde el punto de vista categorial. Concibió una teoría lógica algebraica como un tipo especial de categoría, que es conocida como “semántica funtorial” (functorial semantics), que formaliza la semántica mediante funtores. La sintaxis y la semántica están representadas por una categoría. Una interpretación de una teoría se realiza mediante un funtor entre ambas (la teoría y su interpretación).

La noción de topos elemental proporciona un tratamiento unificado de la sintaxis y la semántica de la lógica de predicados de orden superior. Lawvere quería construir una lógica de predicados de orden superior en términos de la TC. El resultado (la lógica categórica) fue una lógica de tipo intuicionista. Lawvere pensó que como un topos posee un clasificador de subobjetos , que pueden ser valores de verdad {V, F}, entonces la lógica podría ser construida sobre un topos. Pero Lawvere consideró que la lógica podría no ser booleana, y la construyó mediante un álgebra de Heyting. Las álgebras de Heyting son una generalización del álgebra de Boole que modela lógica proposicional intuicionista. La lógica interna de un topos elemental está basada en el álgebra de Heyting de subobjetos del objeto terminal 1, ordenados por inclusión, que equivalen a los morfismos de 1 al clasificador de subobjetos Ω.

Los sistemas algebraicos en lógica no eran nuevos. Ya se habían establecido con Boole y Tarski. Fue un algebrista, Joachim Lambek, el primero en descubrir analogías entre la TC y la lógica, concretamente entre los axiomas de las categorías y los sistemas deductivos como la deducción natural de Gentzen. Lawvere introdujo teorías algebraicas en lugar de las teorías ecuacionales (o de sustitución). La cuantificación existencial y universal se formalizan como funtores adjuntos −a izquierda y derecha, respectivamente− de la operación lógica de sustitución. Si A y B son dos conjuntos, los cuantificadores se definen como morfismos entre P(A) y P(B), los conjuntos potencia respectivos.


Valoración de la Teoría de Categorías
Un proceso de generalización

La TC es la culminación de un proceso de generalización mediante la sustitución de lo constante por lo variable:

• El álgebra elemental es una generalización de la aritmética y resulta de la sustitución de constantes (números) por variables, manteniendo fijas las operaciones.
  
  
• El álgebra abstracta permite que las operaciones varíen para formar estructuras matemáticas fijas y determinadas (grupo, anillo, etc.).
  
  
• La TC permite que incluso varíe la forma de las estructuras, para dar lugar a una teoría general de las estructuras y de las formas.

En la TC incluso varia la semántica, según el marco que se considere. En efecto:

• La concepción tradicional de la matemática se basa en el universo fijo de los conjuntos y, por consiguiente, con una semántica fija y determinada. Por ejemplo, el concepto de grupo en teoría de conjuntos es un conjunto equipado con una operación interna que satisface unos ciertos axiomas expresados en términos de los elementos del conjunto. Así que la interpretación de grupo está siempre referida al mismo marco: el universo de los conjuntos.
  
  
• En la TC, por el contrario, los conceptos matemáticos poseen un significado relativo al marco (categoría) que se considere. En el caso del grupo, sus elementos se sustituyen por flechas, haciendo así interpretable no solo en el universo (categoría) de los conjuntos, sino en cualquier categoría o marco que se considere. La categoría y la semántica correspondiente pueden variar. La TC tiene ambigüedad de referencia, pues cada marco tiene su propio concepto de objeto y de morfismo.

La semántica de flecha

El concepto de flecha o morfismo es ambiguo. También se dice que es “multifacetado”. Solo afirma que es una entidad f que hace corresponder a un objeto A un objeto B, pero no especifica el significado concreto de “correspondencia”. La semántica está abierta. De hecho pueden existir diferentes interpretaciones de una flecha f:A→B, según el marco que se considere. Por ejemplo:

• Función f de argumento A, que produce el resultado B: f(A)=B.
  
  
• Operador monádico f de argumento A y que produce B.
  
  
• Proceso f que hace pasar el sistema de estado A al estado B.
  
  
• Enlace entre los objetos A y B de nombre f.
  
  
• Secuencia formada por los objetos A y B de nombre o atributo f.
  
  
• Flujo de información entre A y B a través del canal de comunicación f.
  
  
• Función f que asigna al objeto A el tipo o clase B.
  
  
• f como implicación lógica (si A entonces B) o como deducción de un sistema lógico (partiendo de A, se deduce B).
  
  
• Regla f que transforma A en B.
  
  
• Botón f de un autómata que hace pasar del estado A al estado B.
  
  
• Función de evaluación f en la que A se evalúa como B.
  
  
• Vía de comunicación f entre A y B.

Esta posibilidad de variar el marco interpretativo es lo que hace que la TC sea general, pero solo en sentido formal o sintáctico.


La importancia de los funtores adjuntos

Los bloques constructivos básicos de la TC son:

• Categoría. Son objetos y morfismos entre objetos.
• Funtores. Son morfismos entre categorías.
• Transformaciones naturales. Son morfismos entre funtores.
• Funtores adjuntos.

Mac Lane y Eilenberg decían que las categorías se definieron para definir funtores, y que los funtores se definieron para definir las transformaciones naturales. De hecho, su artículo original no se tituló “Teoría General de Categorías” sino “Teoría General de Equivalencias Naturales”.

Los funtores adjuntos no los definieron Mac Lane y Eilenberg. Fueron definidos posteriormente, por Daniel Kan en 1958, pero su importancia ha ido creciendo con el tiempo. Actualmente, el concepto de funtores adjuntos es uno de los más importantes en TC:

• Están presente en numerosos campos de la matemática. Por ejemplo, los cuantificadores lógicos (el universal y el existencial) se formalizan como funtores adjuntos respecto a la operación de sustitución.
  
  
• Unifican gran cantidad de conceptos matemáticos.
  
  
• Están relacionados con la noción intuitiva de optimización, pues proporcionan la solución más eficiente.
  
  
• Permiten caracterizar lo que es importante y esencial en matemática.
  
  
• Clarifican los campos donde se aplican.
  
  
• Capturan conceptos matemáticos importantes que son invisibles sin la lente de la TC.
  
  
• Son muy versátiles. Pueden contemplarse desde varios puntos de vista. Es por ello que admiten muchas definiciones.

Es por ello que se considera matemáticamente elegante definir, siempre que sea posible, las nociones matemáticas en términos de funtores adjuntos.


La semántica de funtor

Un funtor puede tener varias interpretaciones, entre ellas las siguientes:

• Un funtor F:C→D como una “representación” de C en D. La idea es hacer corresponder a objetos y morfismos de una categoría abstracta (C) los objetos y morfismos de otra categoría más concreta (D).
  
  
• La categoría C tiene la semántica D. Esta última interpretación viene del concepto de “semántica funtorial” de Lawvere [1963].
  
  
• La categoría C es una teoría, y la categoría D es un modelo de esta teoría.

Aplicaciones

Por su carácter abstracto, la TC se está aplicando a numerosas áreas:

• Fundamentación de la matemática.
  Como todo tiene estructura, la TC se ha propuesto como fundamento de la matemática.
  
  La TC pretende desempeñar un papel análogo al que desempeñó la teoría de conjuntos y proporcionar una nueva fundamentación de la matemática, y contribuyendo a su evolución en el camino de una creciente abstracción, generalización y unificación. Se pretende conectar, sistematizar y organizar los diferentes dominios de la matemática para descubrir sus estructuras profundas comunes que sirvan de fundamento a la matemática.
  
  Lawvere estaba convencido de que la TC podía servir como fundamentación de la matemática, como alternativa al fundamento oficial (la teoría de conjuntos con la aximática ZFC). Para ello propuso la teoría de topos como alternativa a la teoría de conjuntos como fundamento de la matemática, por ser una estructura matemática más abstracta y con mayor poder algebraico. Sin embargo, la última propuesta de Lawvere es fundamentar la matemática sobre un concepto reflexivo: la teoría de categoría de categorías, que incluye a la propia TC, a la teoría de conjuntos y a la lógica.
  
  
• Psicología cognitiva.
  Hay que partir de la base de que la ciencia actual no puede explicar, no solo la conciencia, la mente y la vida, sino la propia naturaleza de la materia. Se necesita una nueva matemática y se ha acudido a la TC con la esperanza de que arrojase cierta luz sobre la realidad profunda subyacente, en dos posibles vías: 1) La conciencia como una especie de categoría universal; 2) La TC como marco para la construcción de una teoría de la conciencia y para la representación de la cognición.
  
  A favor de este enfoque, están los siguientes aspectos:
  
  
  • El morfismo o flecha f:A→B es una triada formada por A, B y f. El número 3 es el número de la conciencia, pues concilia y armoniza los opuestos desde un punto de vista superior. En este caso, los opuestos son A y B, que se armonizan mediante el tercer elemento (f). En este sentido, f estaría asociado a la conciencia, pues se sitúa en un nivel superior a A y B y los conecta. Se supone que el mecanismo básico de la mente y de la conciencia es la relación, y el morfismo es el mecanismo básico de relación entre dos elementos.
    
    
  • Dos funtores adjuntos (F y G), sobre dos categorías C y D, se suelen representar de la forma F:C↔D:G, que indican la unión de los opuestos, una característica o manifestación esencial de la conciencia. En este sentido, pueden asociarse las adjunciones con la conciencia.
  
  Propuestas destacables en este sentido son:
  
  
  • Kato &Struppa [1999] han desarrollado un formalismo matemático basado en los conceptos de prehaz (presheaf) y haz (sheaf) en el marco de la TC, para abordar una teoría general de la conciencia. El prehaz, como funtor, representa la dinámica interna de la entidad consciente. El haz representa la manifestación en la categoría destino. Los haces se forman a partir de los prehaces. La conciencia (consheaf) está asociada a un elemento intermedio entre haz y prehaz.
    
    
  • Struppa et al. [2002] han desarrollado un marco conceptual para el estudio de la conciencia, que se basa en unos pocos principios fundamentales de naturaleza filosófica. Estos principios son: auto-organización, complementariedad (o dualidad), complejidad, causalidad, auto-similaridad y no-localidad (o totalidad). Las herramientas matemáticas para formalizar estos principios se orientan hacia la TC y en la teoría de hazes (sheaf theory). La TC sería el modelo de la conciencia. Y el concepto de haz como modelo para las entidades de la conciencia. También introducen el concepto de “Conhaz” (consheaf, haz consciente), un concepto intermedio entre haz y prehaz.
    
    
  • Kafatos & Draganescu, en su artículo “Toward an Integrative Science” [Internet] afirman que es necesario un enfoque de la ciencia de tipo integrador que permita entender la naturaleza de la mente, la conciencia, la materia y la vida. Este enfoque o teoría debe integrar lo cualitativo y lo cuantitativo, así como lo estructural y lo fenomenológico. Proponen la TC como el formalismo matemático más adecuado para este objetivo. Y proponen dos categorías: la categoría de estructuras neuronales y la categoría de sentidos fenomenológicos. Estas dos categorías están conectadas por un par de funtores adjuntos.
  
  
• Biología.
  La TC se ha propuesto recientemente como modelo para el estudio de los procesos biológicos:
  
  
  • Robert Rosen utiliza flechas para representar el metabolismo de enzimas.
    
    
  • A.C. Ehresmann [2007] desarrolló un modelo denominado “Memory Evolutive Systems” para los sistemas autorganizados evolutivos autónomos y abiertos. La dinámica (cooperativa o competitiva) de estos sistemas se basa en flechas.
  
  
• Matemática.
  Matemática constructivista e intuicionista. Teoría de Modelos. Análisis funcional. Combinatoria. Álgebra homológica. Geometría algebraica. Geometría diferencial sintética, una alternativa al análisis estándar y no estándar.
  
  
• Informática.
  Semántica de la programación. Especificaciones algebraicas. Descomposición modular de programas. Sistemas de software. Estructuras modulares. Semántica de lenguajes de programación. Programación funcional. Teoría de tipos. Teoría de autómatas. Formalización de nociones importantes como composicionalidad, abstracción, independencia de a representación, generalidad, etc., que tienen un fundamento matemático.
  
  Tatsuya Hagino [1987] ha inventado un lenguaje de programación y especificación, con pocas primitivas, basado en conceptos de la TC, en especial los funtores adjuntos
  
  
• Física.
  La TC ha sido propuesta como un nuevo paradigma para abordar los problemas de la física moderna (la cuántica y la relativista). Se considera que la física clásica está asociada a la teoría de conjuntos. Y que para la física moderna hay que utilizar una matemática más abstracta: la TC, que aporta un nuevo marco para entender y formalizar las teorías físicas. En este sentido, la TC se está aplicando a diferentes campos:
  
  
  • Fisica relativista: El espacio-tiempo como categoría, cuyos objetos básicos son las hojas (sheets, son una especie de planos complejos); Espacios supradimensionales, en donde se utilizan categorías de orden superior; Espacio-tiempo n-dimensionales imaginarios, en donde se utilizan n-categorías; etc.
    
    
  • Física cuántica: Categoría de espacios de Hilbert; Categoría de estados cuánticos (y los saltos cuánticos como morfismos).
  
  
• Lógica.
  Lógica categórica: sistemas lógicos como categorías, demostración de teoremas mediante construcciones generales de la TC.
  
  
• Filosofía.
  La TC es de gran interés filosófico, pues: 1) es un marco que favorece la investigación de conceptos como espacio, tiempo y verdad; 2) ayuda a clarificar la epistemología y la ontología.

MENTAL vs. Teoría de Categorías
La comparación entre MENTAL y la TC la podemos realizar según los siguientes aspectos:

• Categorías.
  En filosofía, las categorías son las conceptos últimos de la realidad, los más genéricos, los de supremo nivel de abstracción, las raíces cognitivas que fundamentan nuestra comprensión de la realidad. Mediante las categorías, las entidades son reconocidas, diferenciadas y clasificadas. Aristóteles fue el primero en plantear una lista de 10 categorías: sustancia, cantidad, cualidad, relación, lugar, tiempo, situación, condición, acción y pasión. El concepto de categoría en TC no se ajusta a esta concepción filosófica ni a su significado habitual o informal. Realmente la TC solo utiliza una categoría filosófica: la relación, concebida como morfismo.
  
  Las verdaderas categorías, las categorías “naturales” o primarias son las primitivas semánticas universales de MENTAL, que son axiomas semánticos, dimensiones mentales, arquetipos de la conciencia y categorías filosóficas. Mediante instancias de estas categorías filosóficas surgen todas las posibles expresiones que pueden construirse con el lenguaje.
  
  En TC hay infinitas categorías, tantas como tipos de estructuras. En MENTAL hay 12 categorías y sus contrarias o duales.
  
  
• Semántica de morfismo.
  In TC la semántica es ambigua, tiene muchas interpretaciones. Esto es debido a que la TC no usa más que un concepto primitivo: el morfismo. En MENTAL, las primitivas tienen una semántica precisa.
  
  
• Semántica y funtores.
  Lawvere interpreta los funtores como semántica. Pero la semántica, por su carácter profundo, no se puede formalizar. Solo se puede conectar semántica y sintaxis mediante los arquetipos primarios.
  
  
• Teoría monoparadigma.
  La TC es una teoría monoparadigma: toda entidad matemática tiene una estructura basada en morfismos (las flechas), ya que los objetos se consideran morfismos identidad. Todo se define a partir de este concepto primario. Es una filosofía monoparadigma, análoga a la teoría de conjuntos.
  
  MENTAL proporciona un paradigma universal, fuente de todos los paradigmas particulares, incluyendo el concepto de morfismo en cualquier interpretación que se de.
  
  
• Abstracción.
  La TC es una teoría de supremo nivel de abstracción conceptual. MENTAL se basa en abstracciones conceptuales primarias, en conceptos universales presentes en todos los dominios.
  
  
• Conjunto.
  La TC intenta eliminar el concepto de conjunto, enmascarándolo como “colección”, “familia”, “clase”, etc. En cambio, en la categoría topos sí está contemplado.
  
  Del concepto de conjunto no se puede prescindir porque es un arquetipo primario y una categoría filosófica. Tampoco se puede prescindir del concepto de secuencia. Y ambos conceptos forman parte de MENTAL como arquetipos primarios duales.
  
  
• Espacio abstracto.
  La TC considera que el espacio abstracto es el espacio donde residen los objetos y donde se establecen las conexiones (flechas) entre los objetos. En la teoría de topos es un espacio algebraico.
  
  MENTAL contempla un espacio abstracto en el que se establecen las relaciones entre las expresiones. El espacio se va creando a medida que se van creando las relaciones.
  
  
• Fundamentación.
  La TC es solo una rama de la matemática la más abstracta, sin duda que permite establecer relaciones horizontales entre diferentes campos matemáticos, como: teoría de conjuntos, álgebra abstracta, geometría algebraica, topología, lógica, etc. al descubrir analogías formales entre estructuras, lo que ayuda a organizar el conocimiento matemático. La TC permite razonar sobre estructuras y transformaciones de estructuras, abstrayendo los detalles y planteando generalizaciones.
  
  En este sentido, la TC es una teoría de modelos estructural, una versión particular de la teoría general de modelos, al basarse únicamente en el concepto de morfismo. A la TC le falta un fundamento profundo de tipo conceptual. La TC es heredera de la tradición axiomática, con una orientación Hilbertiana (puramente formal) y no Fregueana (conceptual), y la matemática necesita de ambas visiones. La TC no sirve para fundamentar la matemática.
  
  MENTAL se basa en conceptos primarios y universales, por lo que fundamenta a todos los campos de la matemática e incluso trasciende a la propia matemática. Se puede decir que la matemática es una manifestación de MENTAL, como lo es también de la informática.
  
  La matemática evoluciona elevando el nivel de abstracción, es decir, reconociendo a nivel profundo estructuras comunes de diversos campos aparentemente distintos. En este sentido, era inevitable que la matemática se encontrara con la filosofía y buscara fundamentarse en categorías filosóficas. Pero la TC propone en definitiva solo una categoría: el morfismo. Pretender fundamentar la matemática utilizando un paradigma particular (el concepto de morfismo), es un error del mismo calibre que intentar fundamentarla sobre solo una primitiva conceptual, como el conjunto (la teoría oficial) o la lógica (como pretendía Frege y Russell).
  
  Tampoco tiene sentido fundamentar la matemática en la teoría de topos, pues es una teoría muy compleja y abstrusa, impone restricciones a la propia TC y no es intuitiva. La matemática debe tener un fundamento simple, basada en grados de libertad, en arquetipos primarios. MENTAL es la propuesta en este sentido, una propuesta simple y nítida.
  
  
• Dualidad.
  Aunque en TC hay definiciones duales (suma y producto de objetos de una categoría, funtor y funtor adjunto, etc.), la dualidad básica consiste en la inversión de las flechas. Esta dualidad es esencialmente formal, no conceptual.
  
  MENTAL también tiene carácter dual, pero a nivel conceptual. Cada primitiva tiene su opuesta o dual. Y une los opuestos o duales en todos los aspectos. En especial une ontología (la categorización de lo que existe) y epistemología (la categorización de lo que conocemos).
  
  MENTAL es la unión integral de opuestos. Une semántica y sintaxis, teoría y práctica, ontología y epistemología, matemática y metamatemática, lo descriptivo y lo operativo, etc. Esta unión de opuestos o duales constituye la clave de la conciencia.
  
  
• Relaciones.
  La TC confunde “estructura” con colección de morfismos. Pero la estructura es algo más: es un conjunto de relaciones que van más allá de los morfismos.
  
  En MENTAL, las relaciones vienen determinadas por las primitivas semánticas universales. Contempla relaciones de todo tipo: causales, de decisión, modales, etc. y también contempla expresiones enlazadas, virtuales, imaginarias, etc.
  
  
• Conciencia.
  La conciencia no se puede modelar o formalizar con la TC porque la conciencia no se puede explicar. Solo puede decirse que se basa en los arquetipos primarios, que unen los pares de opuestos o duales, en especial lo interno y lo externo. Y el morfismo no es un arquetipo. Un arquetipo debe unir la semántica y la sintaxis, y la semántica no está definida, es ambigua. Por lo tanto, la TC no tiene relación alguna con la conciencia ni puede servir como modelo de la conciencia.
  
  MENTAL es un lenguaje de la conciencia porque une precisamente los pares de opuestos.
  
  
• Lenguaje.
  La TC es puramente descriptiva, definicional, sin un lenguaje formal. Solo aporta una notación para las definiciones de los conceptos y que requiere del lenguaje natural como apoyo. No existen procedimientos constructivos. El énfasis se pone en el “qué” (lo descriptivo) y no en el “cómo” (lo constructivo). Por ejemplo, no existen mecanismos explícitos para construir estructuras de objetos como secuencias, árboles, matrices, etc.
  
  En cambio, MENTAL es un lenguaje formal basado en conceptos sencillos a partir de los cuales pueden crearse expresiones de cualquier grado de complejidad.
  
  
• Limitaciones.
  Muchas nociones matemáticas se pueden expresar con la TC. Pero no todas. Además, existen restricciones combinatorias. Por ejemplo, no puede definirse conjuntos de cualquier clase (objetos, flechas, funtores), no se pueden definir elementos parametrizados, categorías infinitas, categorías virtuales, etc.
  
  Todas estas limitaciones desaparecen con MENTAL, por su supremo nivel de abstracción conceptual. La combinatoria se basa en las primitivas y no existen restricciones. Podemos especificar todo tipo de entidades matemáticas, incluyendo los contemplados en la TC. MENTAL está en un nivel más profundo y fundamental que la TC.
  
  
• Aplicabilidad.
  La TC, al estar fundamentadas solo en el concepto de morfismo, un concepto demasiado ambiguo, hace que sea difícil de aplicar a cuestiones concretas, de bajo nivel.
  
  MENTAL, en cambio, une teoría y práctica de alto y bajo nivel, pues las primitivas están presentes en todos los niveles. Se aplica en todos los dominios donde se necesite un lenguaje formal.
  
  
• Números naturales.
  La TC permite formalizar los números naturales mediante una axiomática categorial, que es diferente a la axiomática de Peano, pero más compleja y menos intuitiva.
  
  En MENTAL, el número es un arquetipo primario o axioma semántico.
  
  
• Resolución de problemas. Algunos problemas difíciles en algunas áreas matemáticas se pueden resolver más fácilmente desde el punto de vista de la TC. Un resultado demostrado en TC genera muchos resultados en diferentes campos de la matemática.
  
  Con MENTAL, todos los problemas se resuelven, se simplifican o se aclaran.
  
  
• Lógica.
  En TC, la lógica es una estructura, un concepto derivado. La lógica es de tipo algebraico. No existe la lógica asociada a la decisión.
  
  La TC −en especial, la teoría de topos− intenta generalizar la lógica porque la lógica clásica (aristotélica) es demasiado superficial y no puede aplicarse a dominios complejos como topología, geometría algebraica, etc. Por ello la teoría necesita una lógica más profunda: una lógica de carácter intuicionista.
  
  En MENTAL, la lógica se basa en una sola primitiva: “Condición”, que es un arquetipo primario y una categoría filosófica ya concebida por Aristóteles. Esta primitiva tiene una semántica precisa y resuelve el problema de la implicación de la lógica proposicional cuando se combina con otro arquetipo primario, “Generalización”. El lenguaje, y no solo la lógica, es de tipo intuicionista, en el sentido de que se basa en arquetipos primarios.
  
  El álgebra de Heyting es una generalización del álgebra de Boole, pero no es la generalización natural, la más sencilla e intuitiva.
  
  
• Complejidad.
  A pesar de la simplicidad de la idea de morfismo en TC, su desarrollo conduce a una teoría abstracta muy compleja y poco intuitiva. Conceptos sencillos como número natural, suma, inclusión, etc. se vuelven tremendamente complicados. La complejidad deriva de que se trata de formalizar unos conceptos primarios, lo que no tiene sentido.
  
  
• Filosofía.
  La TC ha contribuido a acercar matemática y filosofía, al plantearse muchos temas de tipo epistemológico y ontológico, así como el problema de los universales. También ha obligado a cuestionarse la propia distinción entre matemática y metamatemática, al incidir en la propia fundamentación de la matemática.
  
  En MENTAL se diluye la distinción entre matemática y metamatemática porque los fundamentos (las primitivas) son categorías filosóficas.
  
  
• Integración de escuelas de fundamentación de la matemática.
  Según el matemático Joachim Lambek [1989], la TC permite conciliar las cuatro grandes escuelas fundamentacionalistas de la matemática: platonismo, logicismo, formalismo e intuicionismo.
  
  MENTAL integra y armoniza las escuelas platonista (las primitivas son de tipo platónico), formalista (las primitivas son axiomas semánticos y hay axiomas formales que relacionan las primitivas) e intuicionista (las primitivas son de tipo intuitivo).
  
  
• Economía y abstracción.
  La TC ofrece economía de pensamiento y de expresión, prescindiendo de detalles. Pero prescinde de demasiados detalles.
  
  MENTAL es un lenguaje que sigue el principio de la navaja de Occam (“Las entidades no deben multiplicarse sin necesidad”) y el principio de la cuchilla de Einstein (“Todo debería hacerse del modo más simple posible, pero no más simple”). Como simplicidad y abstracción están en relación directa, la cuchilla de Einstein puede expresarse como “Todo debería hacerse del modo más abstracto posible, pero no más abstracto”. Esto es exactamente lo que ocurre con la TC, que lleva la abstracción más allá de lo razonable, es decir, más allá de los conceptos (arquetipos) primarios. La abstracción debe detenerse en los arquetipos, que conectan lo interno con lo externo. En los años 1940s, cuando se elaboró la TC, se hablaba de “general abstract nonsense” (disparate abstracto general) para referirse al nivel desproporcionado de la abstracción TC respecto a otros campos de la matemática, y que hace que sea poco práctica.
  
  
• Relaciones entre campos.
  La TC ha contribuido a relacionar muchos dominios de la matemática y también otras disciplinas como lógica, informática, física, biología, teoría general de sistemas, etc. Y que resultados generales obtenidos en TC se trasladen como resultados particulares a esos dominios. Pero no ha conseguido que las fronteras entre los diferentes campos se diluyan.
  
  Con MENTAL se diluyen las fronteras entre los campos. Todo es la misma cosa: en todos los campos aparecen los mismos arquetipos primarios.
  
  
• Categorías de orden superior.
  Existen numerosas formas de concebir las categorías de orden superior. También habría que considerar a las propias categorías como casos particulares de una categoría superior. En este segundo caso, ¿qué tipo de categoría es esta? Al ser la categoría de las categorías también una categoría, se tendría que incluir a sí misma, por lo que desembocaríamos en la paradoja de Russell, al haber un concepto auto-referente.
  
  Para resolver el problema de las categorías de las categorías se han propuesto tres soluciones:
  
  
  1. Considerar solo las categorías “pequeñas”, es decir, las categorías que son conjuntos. La categoría de las categorías pequeñas generaliza la noción de clase de todos los conjuntos, pero no incluye la categoría de conjuntos ni la categoría de estructuras.
     
     
  2. Añadir un nuevo axioma a la teoría de conjuntos para que se puedan considerar jerarquías de clases (clases de clases, etc.). De esta forma es posible obtener categorías cuyos objetos sean clases y jerarquías de clases, pero sin llegar a la categoría de todas las categorías. Esta solución fue propuesta por Grothendieck.
     
     
  3. Axiomatizar la propia TC, como se hizo con la teoría de conjuntos. El sistema axiomático de la teoría de conjuntos sería un caso particular del sistema axiomático de la TC cuando se consideran categorías discretas (categorías cuyas funciones son solo funciones identidad). Esta solución fue propuesta por Lawvere en 1996.
  
  Con MENTAL este problema desaparece, pues lo más que puede ocurrir es que aparezcan expresiones descriptivas de tipo fractal.
  
  
• Categoría universal.
  En TC no existe una categoría universal ni la categoría nula. En MENTAL existe la expresión universal (Ω), la expresión existencial (α) y la expresión nula (θ).

Conclusiones

Los fundamentos de la TC no están todavía claros. La teoría no está consolidada conceptualmente y sigue actualmente en proceso de evolución. Incluso la propia definición de categoría ha ido cambiando con el tiempo, según los objetivos o las necesidades

• La lógica categórica no está suficientemente elaborada y los desarrollos realizados son muy complejos.
  
  
• Existen muchas formas de concebir las categorías de orden superior.
  
  
• Hay categorías “enriquecidas”, categorías que tratan de superar las limitaciones de la TC. Por ejemplo, un espacio métrico se puede considerar una categoría enriquecida. Además, existen varias formas de enriquecer las categorías.

MENTAL va en dirección absolutamente opuesta a la TC (incluyendo la teoría de topos), pues está basado en la suprema simplicidad conceptual, no en la suprema abstracción formal. Las verdaderas categorías son la primitivas semánticas universales. MENTAL es un paradigma universal, una teoría de todo.

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Adenda
Topología y espacios topológicos

La topología es la ciencia que estudia los espacios topológicos. Un espacio topológico es un conjunto X junto con una colección τ de subconjuntos abiertos de X. Esta colección τ se denomina “una topología en X”.

Un conjunto abierto es un conjunto en el que todos y cada uno de sus elementos están rodeados por elementos que también pertenecen al conjunto. Los conjunto abiertos tiene la propiedad de que la unión y la intersección de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto. El conjunto vacío es, por definición, un conjunto abierto.

Ejemplos: 1) X={1, 2, 3}, τ={{1}, {2}, {1,2}} es un espacio topológico; 2) X={1, 2, 3}, τ={{1}, {3}, {1,2}} no es un espacio topológico; 3) El conjunto potencia de un conjunto (conjunto de todos los subconjuntos) es un espacio topológico.

El concepto de espacio topológico es muy general y tiene su aplicación virtualmente en todas las ramas de la matemática moderna, pues permite la definición formal de muchos conceptos tales como continuidad, conectividad y convergencia.


Bourbaki y la teoría de categorías

El grupo Bourbaki rechazó la TC por varias razones: 1) porque la consideraba una “competencia” de su método estructuralista basado en la teoría de conjuntos; 2) porque había problemas en conciliar la TC y la teoría de estructuras; 3) porque no quería perder todo el trabajo desarrollado en la teoría de estructuras; 4) por problemas filosóficos; 5) por la dificultad de dar un fundamento conjuntista a la TC.


Prehaz (presheaf) y haz (sheaf)

Un prehaz es un funtor entre un espacio topológico (considerado como una categoría) y otra categoría destino (normalmente, la categoría Set). Este concepto captura la idea de la asociación de información local a un espacio topológico.

Un haz H sobre un espacio topológico X asigna a cada conjunto abierto U de X un conjunto H(U). Un haz es una herramienta para el estudio global de entidades locales (los conjuntos abiertos).

La teoría de hazes fue desarrollada por Jean Leray en los años 1940s y 1950s para el tratamiento de algunos problemas fundamentales de la teoría de ecuaciones diferenciales. Esta teoría se extendió con rapidez a la geometría algebraica, geometría diferencial y topología. Actualmente el haz se ha convertido en un concepto genérico fundamental de la matemática.

Los haces obedecen a una lógica intrínseca propia. Las categorías de haces constituyen universos alternativos que enriquecen a la matemática clásica. La lógica de los haces coincide con la lógica intuicionista de Heyting. La lógica de los conjuntos clásicos se reduce al caso especial de conjuntos fijos (no variables). La lógica de los haces sobre espacios topológicos es una lógica que está a medio camino entre la lógica clásica y la lógica intuicionista, cuyas leyes reflejan sus propiedades geométricas. La lógica intuicionista permite generalizar estructuras aún más abstractas que los haces.


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